凸共轭和GAN有什么关系?

已知$f$共轭的共轭是$f$:

$f^{*}(t)=\max _{x \in dom(f)}\{x t-f(x)\}$

$f(x) = \max _{t \in dom(f^*)}\{x t-f^*(x)\}$

又知道F-Divergence的定义是:

$D_{f}(P \| Q)=\int_{x} q(x) f\left(\frac{p(x)}{q(x)}\right) d x$

将$\frac{p(x)}{q(x)}$作为一个整体，带入到第二个式子，可以得到:

$D_{f}(P \| Q)=\int_{x} q(x) f\left(\frac{p(x)}{q(x)}\right) d x$

$= \int_{x} q(x) \left(\max_{t \in dom(f^*)}\{ \frac{p(x)}{q(x)} t-f^*(t) \} \right) d x$

思考

要解这个$\max$的问题, 我们就要穷举所有的$x$, 然后找到$\frac{p(x)}{q(x)} t-f^*(t)$对应的上确界(?), 但是我们现在不去解这个$\max$的问题。我们学习一个$D(x)$, 这个神经网络D的输入是$x$, 输出是$t$。 由于神经网络D 的拟合能力是有限的，因此:

$D_{f}(P \| Q) \geq \int_{x} q(x) \left( \frac{p(x)}{q(x)}D(x) - f^*(D(x)) \right) dx$

$= \int_{x} p(x)D(x) - q(x)f^*(D(x)) dx$

为什么

$\frac{p(x)}{q(x)}D(x) - f^*(D(x))$

是

$\max_{t \in dom(f^*)}\{ \frac{p(x)}{q(x)} t-f^*(t) \}$

的一个Lower Bound?

巧妙的转换

当神经网络通过学习变得足够好后, $D(x) \approx t$, 此时 $\int_{x} p(x)D(x) - q(x)f^*(D(x)) \approx D_{f}(P \| Q)$

于是:

$D_{f}(P \| Q) \approx \max _{D} \left\{\int_{x} p(x) D(x) d x-\int_{x} q(x) f^{*}(D(x)) dx \right\}$

$=\max _{D}\left\{\mathbb{E}_{x \sim P}[D(x)]-\mathbb{E}_{x \sim Q}\left[f^{*}(D(x))\right]\right\}$

有没有很熟悉的感觉， 我们把$P$换成$P_{data}$, 将$Q$换成$P_{G}$, 就得到了:

$D_{f}(P_{data} \| P_{G}) \approx \max _{D}\left\{\mathbb{E}_{x \sim P_{data}}[D(x)]-\mathbb{E}_{x \sim P_{G}}\left[f^{*}(D(x))\right]\right\}$

和GAN的关系

GAN的最终目的:

$G^{*}=\arg \min _{G} D_{f}\left(P_{\text {data}} \| P_{G}\right)$

$=\arg \min _{G} \max _{D}\left\{\mathbb{E}_{x \sim P_{\text {data}}}[D(x)]-\mathbb{E}_{x \sim P_{G}}\left[f^{*}(D(x))\right]\right\}$

$=\arg \min _{G} \max _{D} V(G, D)$

回想一下在我们在最初学习GAN的时候是直接定义:

$V(G, D) = \mathbb{E}_{x \sim P_{\text {data}}}[\log D(x)]+\mathbb{E}_{x \sim P_{G}}[\log (1-D(x))]$

可以证明使用这个上面这个$V$，我们minimize的其实是JS Divergence.

也就是说GAN里面的$V$是有一个通用形式的:

$V(G, D) = \mathbb{E}_{x \sim P_{\text {data}}}[D(x)]-\mathbb{E}_{x \sim P_{G}}\left[f^{*}(D(x))\right]$

也就是说GAN里面要Minimize的Divergence是有一个通用的形式的:

$D_{f}\left(P_{\text {data }} \| P_{G}\right)$

$f$取不同的值可以量不同的Deivergence.

上式里面用到的有不是凸函数$f$本身,而是$f$的凸共轭$f^*$, 所以就想明白了为什么GAN和凸共轭有关系。

参考:

台大李宏毅老师GAN课程:GAN Lecture 5 (2018): General Framework